Лекция 1. Функция действительной переменной

Лекция 1. Функция действительной переменной

Цель лекции:разглядеть понятие функции на огромном количестве реальных чисел; научиться систематизировать функции, отыскивать оборотные функции.

План лекции

Огромное количество реальных чисел и его характеристики

Понятие функции реальной переменной,методы задания и простые классы функций

3. Суперпозиция функций, оборотная, неявная и параметрическая функции

4. Систематизация простых функций

Введение

Этой лекцией начинается одна из принципиальных тем «Математический анализ Лекция 1. Функция действительной переменной», посвященных в главном исследованию функций.

В прошлом семестре в теме «Теория множеств» было исследовано понятие функции на огромном количестве. Очередные несколько лекций будут посвящены этим функциям, но только для реальных множеств. Напомним, что функцией именуется хоть какое бинарное отношение, которое не содержит 2-ух пар с схожими первыми элементами и различными вторыми, либо Лекция 1. Функция действительной переменной другими словами, единственному элементу 1-го огромного количества неким образом соответствует единственный элемент другого огромного количества.

При исследовании лекции следует направить внимание и сопоставить уже известные понятия «суперпозиция» и «обратная функция» из теории множеств (см. л. 1 – 4, ч. 1) с аналитическим методом задания функции в данной лекции.

Разглядим огромное количество действительныхчисел Лекция 1. Функция действительной переменной R, на котором будут задаваться функции, также его характеристики.

Огромное количество реальных чисел и его характеристики

Итак, предметом математического анализа является функция и ее характеристики. Основной способ математического анализа – предельный переход.

Определение 1.

Дельта-окрестностью точки именуется огромное количество точек, таких, что расстояние от хоть какой точки x этого огромного количества до точки меньше Лекция 1. Функция действительной переменной дельта, либо .

Возьмем некое огромное количество ~R, тогда графически дельта-окрестность может быть представлена на рис. 1.

1.1. Характеристики R

1. Упорядоченность.

и справедливо только одно из унарных отношений: , , .

2. Плотность.

, при .

3. Непрерывность.

и : .

Понятие функции реальной переменной,

Методы задания и простые классы функций

Понятие функции реальной переменной

Зададим два огромного количества и , обозначив их Лекция 1. Функция действительной переменной элементы и соответственно.

Определение 2.

Отображение D из огромного количества R на E из огромного количества R, которое ставит в соответствие элементу огромного количества D единственный элемент огромного количества E, именуется функцией. Обозначается либо , либо . При всем этом x – независящий аргумент, y – зависимая переменная (функция). D – область определения функции, E Лекция 1. Функция действительной переменной – огромное количество ее значений.

Методы задания функции

1. Аналитический метод.

В виде аналитического выражения (рис. 2) зависимой переменной y от независящего аргумента x. Достоинства такового метода – компактность записи, возможность отыскать значение функции для хоть какого аргумента и точность. Недочетами являются отсутствие наглядности, громоздкость вычислений.

2. Графический метод.

В виде графической зависимости (рис. 3) переменной y Лекция 1. Функция действительной переменной от независящего аргумента x. Достоинства такового метода – наглядность, возможность отыскать значение функции для хоть какого аргумента. Недочетом – низкая точность, невозможность анализа функции.

3. Табличный метод.

В виде табличной (известной еще со школьного курса) зависимости переменной y от независящего аргумента x (рис.4). Преимущество такового метода – быстрота определения значений Лекция 1. Функция действительной переменной функции зависимо от аргумента. Недочетами являются низкая точность, невозможность анализа функции, ненаглядность, невозможность определения значения функции для хоть какого значения аргумента.

2.3. Простые классы функций

Определение 3.

Функция именуется четной, если справедливо , другими словами если точка (x,y) принадлежит графику четной функции, то и точка (-x,y) также принадлежит этому графику. График Лекция 1. Функция действительной переменной функции симметричен относительно оси Oy.

Определение 4.

Функция именуется нечетной, если справедливо , другими словами если точка (x,y) принадлежит графику четной функции, то и точка (-x,-y) также принадлежит этому графику. График функции симметричен относительно начала координат.

Определение 5.

Функция именуется повторяющейся, если существует число l>0, такое, что

. (1)

Можно показать, что функция, удовлетворяющая равенству Лекция 1. Функция действительной переменной (1), удовлетворяет и равенству , где . Другими словами .

За период принимают меньшее значение l, от добавления которого значение функции не меняется.

Определение 6.

Функция - однообразно растущая на огромном количестве M, если и из неравенства следует .

Определение 7.

Функция - однообразно убывающая на огромном количестве M, если и из неравенства следует .

Замечание!

В определении функции подчеркивалось Лекция 1. Функция действительной переменной, что . Определенная таким макаром функция именуется конкретной. Время от времени приходится расширить понятие функции до разнопланового: .

ПРИМЕР 1.

, , либо . В данном случае функция неоднозначна.

3. Суперпозиция функций, оборотная, неявная и параметрическая функции

3.1. Суперпозиция функций

Пусть и , , .

Определение 8.

Отображение : , которое каждому элементу x из X ставит в соответствие элемент z из Z Лекция 1. Функция действительной переменной, именуется сложной функцией либо суперпозицией функции (см. л. 4, ч. 1) либо функцией от функции.

. (2)

ПРИМЕР 2. .

3.2. Оборотная функция

Если меж огромными количествами и существует взаимно-однозначное соответствие, то можно гласить об отображении на , либо о функции , либо , либо . Приобретенная таким макаром функция именуется оборотной функцией (см. лекция 4, часть 1).

Замечание!

Графики взаимно оборотных функций симметричны Лекция 1. Функция действительной переменной относительно оси .

3.3. Параметрическая функция

Определение 9.

Задание функции, при котором обе переменные, связанные функционально, выражаются через переменную t – параметр, именуется параметрическим.

. (3)

ПРИМЕР 3.

– эллипс.

3.4. Неявная функция

Определение 10.

Задание функции равенством, неразрешенным относительно самой функции, именуется неявным.

. (4)

ПРИМЕР 4.

, как следует, – неявное задание функции.

4. Систематизация простых функций

Главные простые функции:

1. Степенная функция , .

2. Показательная функция Лекция 1. Функция действительной переменной , ( ).

3. Логарифмическая функция , ( ).

4. Тригонометрические функции

5. Оборотные тригонометрические функции

Определение 11.

Простыми функциями именуются функции, приобретенные при помощи конечного числа арифметических операций и суперпозиций функций.

Все простые функции делятся на два класса – алгебраические и непознаваемые.

Определение 12.

Алгебраические – это функции, приобретенные из независящей переменной средством операций .

В свою очередь алгебраические функции делятся на оптимальные Лекция 1. Функция действительной переменной, т. е. не содержащие операций возведения в дробную степень, и на иррациональные, содержащие такую операцию.

В свою очередь оптимальные функции делятся на целые и дробные.

Определение 13.

Целой рациональной функцией либо многочленом именуется функция вида .

Определение 14.

Дробной рациональной функцией именуется отношение целых функций .

Замечание!

Все неалгебраические функции именуются непознаваемыми ( ).

Заключение

На этой Лекция 1. Функция действительной переменной лекции рассмотрены главные методы задания функций и их систематизация, потому ее осознание очень принципиально в протяжении исследования всего курса высшей арифметики. Рекомендуется для наилучшего усвоения последующих разделов высшей арифметики ворачиваться к данной лекции.

Отметим что:

- огромное количество реальных чисел упорядоченное, плотное и непрерывное;

- дельта-окрестность может Лекция 1. Функция действительной переменной быть нескончаемо малой;

- понятие сложной функции основано на понятии суперпозиции отношений;

- понятие оборотной функции основано на понятии оборотного дела;

- не очевидная функция не разрешена относительно переменной;

- параметрическое задание функции определяется через 3-ий параметр;

- функции бывают четные, нечетные и повторяющиеся;

- все функции бывают алгебраические ( ) и непознаваемые ( ).

Литература

1. Бермант А.Ф. и др Лекция 1. Функция действительной переменной. Лаконичный курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 2001.

2. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. – СПб.: Лань, 1999. - 560 с.

3. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Лаконичный курс высшей арифметики. – М.: Астрель, 2001. - 656 с.

Лекция 2. Предел функции в точке

Цель лекции:изучить понятие предела, научиться обосновывать аксиомы с применением понятий предела, осознать геометрический Лекция 1. Функция действительной переменной смысл дельта-окрестности.

План лекции


lekciya-1-teoreticheskie-osnovi-geograficheskie-i-zemelnie-informacionnie-sistemi.html
lekciya-1-vospriyatie-i-ego-razvitie-v-detskom-vozraste-str363-381.html
lekciya-1-vvedenie-rastitelnie-tkani.html