Лекция 11. Нелинейные САУ

Большая часть черт реальных устройств в общем случае являются нелинейными и некие из их не могут быть линеаризованы, т.к . имеют разрывы второго рода и к ним кусочно-линейная аппроксимация неприменима. Работу реальных звеньев (устройств) могут аккомпанировать такие явления, как насыщение, гистерезис, свободный ход, наличие зоны нечувствительности и т.д. Нелинейности могут Лекция 11. Нелинейные САУ быть естественными и искусственными (целенаправленно вводимые). Естественные нелинейности присущи системам в силу нелинейного проявления физических процессов и параметров у отдельных устройств. К примеру, механическая черта асинхронного мотора. Искусственные нелинейности вводятся разработчиками в системы, чтоб обеспечить требуемое качество работы: для хороших по быстродействию систем используют релейное управление, наличие нелинейных Лекция 11. Нелинейные САУ законов в поисковых и безпоисковых экстремальных системах, системы с переменной структурой и т.д.
Нелинейной системой именуется такая система, в состав которой заходит хотя бы один элемент, линеаризация которого невозможна без утраты существенных параметров системы управления в целом. Существенными признаками нелинейности являются: если некие координаты либо их производные Лекция 11. Нелинейные САУ по времени входят в уравнение в виде произведений либо степени, хорошей от первой; если коэффициенты уравнения являются функциями неких координат либо их производных. При составлении дифференциальных уравнений нелинейных систем поначалу составляют дифференциальные уравнения для каждого устройства системы. При всем этом свойства устройств, допускающих линеаризацию, линеаризуются. Элементы, не допускающие линеаризации, именуются Лекция 11. Нелинейные САУ значительно нелинейными. В итоге получают систему дифференциальных уравнений, в какой одно либо несколько уравнений нелинейные. Устройства, допускающие линеаризацию, образуют линейную часть системы, а устройства, которые не могут быть линеаризованы, составляют нелинейную часть. В простом случае структурная схема САУ нелинейной системы представляет собой последовательное соединение безынерционного нелинейного элемента и линейной части Лекция 11. Нелинейные САУ, окутанное оборотной связью (рис.7.1). Потому что для нелинейных систем не применим принцип суперпозиции, то, проводя структурные преобразования нелинейных систем, единственным ограничением по сопоставлению со структурными преобразованиями линейных систем, будет то, что нельзя переносить нелинейные элементы через линейные и напротив.


Рис. 7.1. Многофункциональная схема нелинейной системы:
НЭ - нелинейный элемент; ЛЧ Лекция 11. Нелинейные САУ - линейная часть; Z(t) и X(t)
соответственно выход и вход нелинейного элемента.

Систематизация нелинейных звеньев вероятна по разным признакам. Наибольшее распространение получила систематизация по статическим и динамическим чертам. 1-ые представляются в виде нелинейных статических черт, а 2-ые - в виде нелинейных дифференциальных уравнений. Примеры таких черт приведены в [2,6]. На Лекция 11. Нелинейные САУ рис.7.2. приведены примеры конкретных (без памяти) и неоднозначных (с памятью) нелинейных черт. В данном случае учитывается направление (символ) скорости сигнала на входе.


Рис.7.2. Статические свойства нелинейных частей

Поведение нелинейных систем при наличии существенных нелинейностей имеет ряд особенностей, хороших от поведения линейных САУ [2,6,13 ]:
1. выходная величина нелинейной системы диспропорциональна входному воздействию, т Лекция 11. Нелинейные САУ.е. характеристики нелинейных звеньев зависят от величины входного воздействия;
2. переходные процессы в нелинейных системах зависят от исходных критерий (отклонений). В связи с этим, для нелинейных систем введены понятия стойкости "в малом", "в большенном", "в целом". Система устойчива "в малом", если она устойчива при малых (нескончаемо малых) исходных Лекция 11. Нелинейные САУ отклонениях. Система устойчива "в большенном", если она устойчива при огромных (конечных по величине) исходных отклонениях. Система устойчива "в целом", если она устойчива при всех огромных (неограниченных по величине) исходных отклонениях. На рис.7.3 приведены фазовые линии движения систем: устойчивой "в целом" (а) и системы устойчивой "в большенном" и неуравновешенной "в малом" (б Лекция 11. Нелинейные САУ);


Рис.7.3. Фазовые линии движения нелинейных систем

3. для нелинейных систем характерен режим незатухающих повторяющихся колебаний с неизменной амплитудой и частотой (автоколебаний), возникающий в системах при отсутствии повторяющихся наружных воздействий;
4. при затухающих колебаниях переходного процесса в нелинейных системах может быть изменение периода колебаний.
Эти особенности определили отсутствие общих подходов при анализе Лекция 11. Нелинейные САУ и синтезе нелинейных систем. Разработанные способы позволяют решать только локальные нелинейные задачки. Все инженерные способы исследования нелинейных систем делятся на две главные группы: четкие и приближенные. К четким способам относится способ А.М.Ляпунова, способ фазовой плоскости, способ точечных преобразований, частотный способ В.М.Попова. Приближенные способы основаны Лекция 11. Нелинейные САУ на линеаризации нелинейных уравнений системы с применением гармонической либо статистической линеаризации. Границы применимости того либо другого способа буду рассмотрены ниже. Следует увидеть, что в обозримом будущем имеется необходимость предстоящего развития теории и практики нелинейных систем.
Массивным и действенным способом исследования нелинейных систем является моделирование, инструментарием которого служит компьютер. В текущее время многие Лекция 11. Нелинейные САУ сложные для аналитического решения теоретические и практические вопросы сравнимо просто могут быть решены при помощи вычислительной техники.
Основными параметрами, характеризующими работу нелинейных САУ, являются:
1. Наличие либо отсутствие автоколебаний. Если автоколебания имеются, то нужно найти их амплитуду и частоту.
2. Время выхода регулируемого параметра в режим стабилизации (быстродействие).
3. Наличие либо Лекция 11. Нелинейные САУ отсутствие скользящего режима.
4. Определение особенных точек и особенных траекторий движения.
Это далековато не полный список исследуемых характеристик, провождающих работу нелинейных систем. Системы экстремальные, самонастраивающиеся, с переменными параметрами требуют оценки и дополнительных параметров.

Способ гармонического баланса

Мысль способа гармонической линеаризации принадлежит Н.М. Крылову и Н.Н. Боголюбову Лекция 11. Нелинейные САУ и базируется на подмене нелинейного элемента системы линейным звеном, характеристики которого определяются при гармоническом входном воздействии из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена. Способ является приближенным и может быть применен исключительно в случае, когда линейная часть системы является фильтром низких частот, т.е Лекция 11. Нелинейные САУ. отфильтровывает все возникающие на выходе нелинейного элемента гармонические составляющие, не считая первой гармоники. При всем этом линейная часть может быть описана дифференциальным уравнением хоть какого порядка, а нелинейный элемент может быть как конкретным, так и неоднозначным.
В базе способа гармонической линеаризации (гармонического баланса) лежит предположение, что на вход нелинейного Лекция 11. Нелинейные САУ элемента подается гармоническое воздействие с частотой ω и амплитудой А, т.е. x = А sinωt. В предположении, что линейная часть является фильтром низких частот, диапазон выходного сигнала линейной части ограничивается только первой гармоникой, определяемой рядом Фурье (в этом и заключается приближенность способа, т.к. высшие гармоники выбрасываются Лекция 11. Нелинейные САУ из рассмотрения). Тогда связь меж первой гармоникой выходного сигнала и входным гармоническим воздействием нелинейного элемента представляется в виде передаточной функции [2,4,13]:

(7.1)

Уравнение (7.1) именуется уравнением гармонической линеаризации, а коэффициенты q и q' - коэффициентами гармонической линеаризации, зависящие от амплитуды А и частоты ω входного воздействия. Для разных видов нелинейных черт коэффициенты гармонической линеаризации сведены в Лекция 11. Нелинейные САУ таблицу [2,4,13]. Следует увидеть. что для статических конкретных коэффициент q'(А)=0. Подвергнув уравнение (7.1) преобразованию по Лапласу при нулевых исходных критериях с следующей подменой оператора p на jω (p = jω ), получим эквивалентный полный коэффициент передачи нелинейного элемента

Wнэ(jω,A) = q + jq'. (7.2)

После того, как проведена гармоническая линеаризация, для анализа и Лекция 11. Нелинейные САУ синтеза нелинейных САУ может быть применение всех способов, используемых для исследования линейных систем, в том числе и внедрение разных критериев стойкости. При исследовании нелинейных систем на базе способа гармонической линеаризации сначала решают вопрос о существовании и стойкости повторяющихся (автоколебательных) режимов. Если повторяющийся режим устойчив, то в системе есть автоколебания с частотой Лекция 11. Нелинейные САУ ω0 и амплитудой А0. Разглядим нелинейную систему, включающую в себя линейную часть с передаточной функцией

(7.3)

и нелинейный элемент с эквивалентным всеохватывающим коэффициентом передачи (7.2). Расчетная структурная схема нелинейной системы приобретает вид рис.7.5.


Рис.7.5. Структурная схема нелинейной САУ

Для оценки способности появления автоколебаний в нелинейной системе способом гармонической линеаризации нужно отыскать условия Лекция 11. Нелинейные САУ границы стойкости, как это делалось при анализе стойкости линейных систем. Если линейная часть описывается передаточной функцией (7.3), а нелинейный элемент (7.2), то характеристическое уравнение замкнутой системы будет иметь вид

d(p) + k(p)(q(ω,A) + q'(ω,A)) = 0 (7.4)

На основании аспекта стойкости Михайлова границей стойкости будет прохождение годографа Михайлова через начало координат. Из Лекция 11. Нелинейные САУ выражений (7.4) можно отыскать зависимость амплитуды и частоты автоколебаний от характеристик системы, к примеру, от коэффициента передачи k линейной части системы. Для этого нужно в уравнениях (7.4) коэффициент передачи k считать переменной величиной, т.е. это уравнение записать в виде:

d(jω) + K(jω)(q(ω,A) + q'(ω,A)) = Re(ω0,A0,K Лекция 11. Нелинейные САУ) +Jm(ω0,A0,k) = 0 (7.5)

где ωo и Ao - вероятные частота и амплитуда автоколебаний.
Тогда, приравнивая к нулю действительную и надуманную части уравнения (7.5)

(7.6)

можно выстроить границу стойкости (D-разбиение) по интересующему нас параметру k (рис.7.6).


Рис.7.6. D-разбиение плоскости параметра К нелинейной САУ

Анализируя рис.7.6 можно заключить, что в области 1 автоколебания невозможны и Лекция 11. Нелинейные САУ критичный коэффициент равен ккр, а в области 2 колебания сходятся к величине амплитуды Ao и частоты ωo (автоколебательный режим) зависимо от исходных критерий. По графику рис.7.6 можно избрать коэффициент передачи k, при котором амплитуда и частота вероятных автоколебаний имеет допустимые значения либо вообщем отсутствует.
Почаще на практике употребляется графоаналитический способ Лекция 11. Нелинейные САУ определения вероятных амплитуд и частот автоколебаний в нелинейных системах. В согласовании с аспектом стойкости Найквиста незатухающие колебания в линейной системе появляются в этом случае, когда амплитудно-фазовая черта разомкнутой системы проходит через точку с координатами [ 1, j0]. Данное условие является также условием существования автоколебаний в гармонически линеаризованной нелинейной системе (рис.7.5), т Лекция 11. Нелинейные САУ.е.

1 + Wлч(jω)*Wнэ(jω,A)=0 (7.7)
либо Wлч(jω)=-1/Wнэ(jω,A). (7.8)

Решение уравнения (7.8) относительно частоты и амплитуды автоколебаний можно получить графически, как точку скрещения годографа частотной свойства линейной части системы Wлч(jω) и годографа оборотной свойства нелинейной части -1/Wнэ(jω,А) (рис7.7). Если эти годографы не пересекаются Лекция 11. Нелинейные САУ, то режим автоколебаний в исследуемой системе не существует.


Рис. 7.7. Годографы линейной и нелинейной частей системы

Для стойкости автоколебательного режима с частотой ω0 и амплитудой А0 требуется, чтоб точка на годографе нелинейной части М, соответственная увеличенной амплитуде А0+ ΔА по сопоставлению со значением в точке скрещения годографов, не охватывалась годографом частотной свойства линейной Лекция 11. Нелинейные САУ части системы, в неприятном случае автоколебания неуравновешенные. На рис. 7.7 дан пример расположения годографов для варианта, когда в нелинейной системе есть устойчивые автоколебания. Характеристики автоколебаний на входе нелинейного элемента определяются в точке скрещения годографов: частота из Wлч(jω), а амплитуда из Wнэ-1(A). Исследование нелинейных систем может быть по Лекция 11. Нелинейные САУ логарифмическим частотным чертам (способ шаблонов) [2]. Способ гармонического баланса позволяет вести синтез нелинейных САУ на обеспечение требуемых характеристик свойства меняя характеристики либо линейной части, либо нелинейного элемента.

Способы фазовой плоскости

Способ фазового места относится к более ранешным четким аналитическим способам теории нелинейных систем. К ним относится способ фазовой Лекция 11. Нелинейные САУ плоскости, в первый раз введенный в ТАУ А.А.Андроновым, и способ точечных преобразований [2,13]. Фазовым местом именуется место, по осям координат которого отложены переменные, характеризующие состояние динамической системы. Если движение системы описывается дифференциальным уравнением n-го порядка, то состояние этой системы в хоть какой момент времени можно охарактеризовывать некой точкой n Лекция 11. Нелинейные САУ-мерного фазового места, по осям которого отложены координата системы и (n-1) ее производных. Точка, характеризующая состояние системы в фазовом пространстве, именуется изображающей точкой. При движении системы изображающая точка обрисовывает в фазовом пространстве некую кривую, именуемую фазовой траекторией. Каждому определенному переходному процессу в фазовом пространстве соответствует определенная фазовая линия движения. Изначальное Лекция 11. Нелинейные САУ положение изображающей точки определяется исходными критериями. В установившемся сбалансированном состоянии системы все производные рассматриваемой переменной равны нулю. Надлежащие этому точки фазового места находятся в покое и именуются особенными точками. Совокупа фазовых траекторий для различных исходных отклонений именуется фазовым портретом системы. По виду фазового портрета системы определяют особенные точки и Лекция 11. Нелинейные САУ особенные линии движения, изучат устойчивость системы и оценивают качество процесса управления.
Способ фазовой плоскости употребляется для исследования нелинейных систем, линейная часть которых описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка, а нелинейный элемент может быть хоть каким. Способ состоит в том, что из уравнений состояния исключается время и определяются Лекция 11. Нелинейные САУ уравнения фазовых кривых. Задачка существенно упрощается, если нелинейный элемент обладает кусочно-линейной чертой. Тогда фазовое место разбивается на ряд областей, где работа нелинейной системы описывается обычными линейными уравнениями, на основании которых строятся фазовые линии движения. Непрерывность движения изображающей точки на фазовом пространстве (переход из одной области в другую Лекция 11. Нелинейные САУ) обеспечивается "сшиванием" по линиям переключения в согласовании с видом нелинейности. При исследовании нелинейных систем высочайшего порядка их аппроксимируют системами второго порядка с эквивалентным запаздыванием. Уравнение фазовой линии движения может быть получено из уравнений состояния

(7.9)

где: x1, x2 - координата системы и ее производная; f(x1;x2) - нелинейная функция.
Разделив 2-ое Лекция 11. Нелинейные САУ из уравнений (7.9) на 1-ое, получим уравнение фазовой линии движения, в каком отсутствует время t в очевидном виде:

(7.10)

Решение уравнения (7.10) x2 = F(x1) изображается на фазовой плоскости (x1;x2). По оси абсцисс откладывается сама координата x1, а по оси ординат откладывается ее 1-ая производная x2. Каждой совокупы исходных критерий (x10, x Лекция 11. Нелинейные САУ20) соответствует свое решение и своя фазовая линия движения. Семейство фазовых траекторий охарактеризовывает все вероятные виды переходных процессов в данной системе управления при всех исходных критериях и образует ее фазовый портрет.
Главные характеристики фазовых траекторий вытекают из выражения (7.10):
1) если F(x1;x2) определена и непрерывна в некой области и имеет непрерывные личные Лекция 11. Нелинейные САУ производные по своим аргументам, то через каждую точку фазовой плоскости, кроме особенных точек, проходит единственная фазовая линия движения. Это значит, что фазовые линии движения не пересекаются меж собой;
2) при x2= >0 координата x1 должна возрастать, потому в верхней фазовой полуплоскости при возрастании времени t изображающая точка движется слева вправо Лекция 11. Нелинейные САУ. Соответственно в нижней полуплоскости движение происходит справа влево. Направление движения на траекториях демонстрируют стрелками;
3) в точках, где x2 = 0 и F(x1;x2) не равно 0, фазовые линии движения пересекают ось абс-цисс под прямым углом. Ось ординат фазовые линии движения могут пересекать под хоть каким углом.
В большинстве собственном решение Лекция 11. Нелинейные САУ уравнения (7.10) может быть получено обычным интегрированием, но если переменные x1 и x2 не делятся, то фазовые линии движения можно выстроить приближенным графоаналитическим способом, к примеру, способом изоклин [2,4].
Изоклиной именуется такая линия, во всех точках скрещения которой с фазовыми траекториями, последние наклонены под одним и этим же углом αi к Лекция 11. Нелинейные САУ оси абсцисс, т.е. сi =dx2/dx1 и arctg ci = αi. Уравнение изоклины выходит из уравнения (7.10) подстановкой

из которого выходит уравнение изоклины x2 = φ(x1, ci ). Задавая разные значения сi наклона касательных к фазовым траекториям, пересекающим эти изоклины, строят семейство изоклин, которые употребляются для построения фазовых траекторий (рис. 7.9). В качестве примера Лекция 11. Нелинейные САУ на рис. 7.8 на изоклинах отмечены наклоны фазовых траекторий к оси абсцисс и построена фазовая линия движения, исходящая из точки Мо.


Рис. 7.9. Фазовая линия движения нелинейной САУ

Особенностью фазовых траекторий нелинейных САУ будет то, что не считая особенных точек на фазовом портрете могут появляться особенные линии движения [2,3,6,13]. На рис.7.3 показаны предельные Лекция 11. Нелинейные САУ циклы: неуравновешенный и устойчивый. К этим предельным циклам стремятся изображающие точки при разных исходных отклонениях по разным фазовым траекториям. Устойчивый предельный цикл соответствует автоколебаниям системы. Размеры предельного цикла представляют амплитуды колебаний самой величины x1 и скорости ее конфигурации x2. Скрещение линии движения устойчивого предельного цикла с осью абсцисс определяет Лекция 11. Нелинейные САУ амплитуду автоколебаний Ао, а скрещение с осью ординат определяет величину произведения амплитуды на частоту колебаний Аоωо.

Учет незапятнанного запаздывания в нелинейных САУ

Для учета незапятнанного запаздывания в нелинейных САУ расчетная структурная схема приводится к виду Рис.7.12.


Рис. 7.12. Схема нелинейной системы
со звеном незапятнанного запаздывания

Найти вероятную амплитуду и частоту автоколебаний Лекция 11. Нелинейные САУ можно способом гармонического баланса, если выстроить годографы:
Wлч(jω)*e-jωτ - а.ф.х. эквивалентной линейной части;
Wнэ-1(A) - оборотная а.ф.х. нелинейного элемента.
В случае скрещения этих годографов определяются характеристики и устойчивость автоколебаний по приведенной выше методике.

Корректировка нелинейных систем

При корректировки нелинейных автоматических Лекция 11. Нелинейные САУ систем обычно решаются две главные задачки [2,5]:
- обеспечение стойкости системы;
- получение автоколебаний с данной амплитудой и частотой.
Корректировка осуществляется при помощи включения как линейных, так и нелинейных подкорректирующих устройств, также компенсацией воздействия нелинейностей. В качестве линейных подкорректирующих устройств употребляются приемущественно неединичные главные оборотные связи и местные оборотные связи, обхватывающие нелинейные элементы. Нелинейные корректирующие Лекция 11. Нелинейные САУ устройства врубаются либо поочередно, либо в оборотные связи.
При расчете подкорректирующих устройств структурную схему нелинейной системы нужно привести к эквивалентной одноконтурной схеме с нелинейным элементом и эквивалентной линейной частью (рис.7.1). И способом шаблонов [2] либо способом гармонического баланса подбирается передаточная функция линейного корректирующего устройства и характеристики нелинейности Лекция 11. Нелинейные САУ с тем, чтоб избежать появление автоколебаний в системе либо ограничить их применимыми амплитудой и частотой автоколебаний.
При компенсации нелинейностей нелинейную систему можно рассматривать как линейную относительно определенных входных воздействий. Линеаризация данной нелинейности F(x) заключается во включении поочередно либо параллельно компенсирующего нелинейного элемента (КЭ) с оборотной нелинейной чертой F-1(x Лекция 11. Нелинейные САУ). При всем этом получаем эквивалентный линейный элемент. На рис. 7.14 приведен пример линеаризации усилителя с насыщением методом включения наряду с ним усилителя с зоной нечувствительности.


Рис. 7.14. Схема включения параллельно компенсирующей нелинейности

Целью вибрационной компенсация нелинейностей является приближение параметров нелинейной системы к линейной САУ. Этого можно достигнуть за счет того, что на вход нелинейного Лекция 11. Нелинейные САУ элемента вместе с сигналом рассогласования Δ(t) подается частотная повторяющаяся составляющая u(t) (рис. 7.15).


Рис. 7.15. Вибрационная компенсация нелинейности

Сигнал рассогласования Δ(t) сдвигает эти колебания относительно нелинейной свойства. Средние времена состояний оказываются неодинаковыми, и в определенном спектре среднее значение сигнала на выходе НЭ будут приблизительно пропорциональным Δ(t). Колебания u Лекция 11. Нелинейные САУ(t) вводятся от специального генератора. Если частота этих колебаний довольно велика, чтоб можно было приближенно считать рассогласованиеΔ(t) постоянным в границах периода T=2π/ω, то неизменная составляющая выходного сигнала нелинейного элемента обусловится выражением (рис.7.15,б)

Довольно нередко проводят линеаризацию нелинейных систем применяя высокочастотные автоколебания рис.7.16.


Рис.7.16. Линеаризация автоколебаниями

Для получения таких автоколебаний Лекция 11. Нелинейные САУ НЭ (в большинстве случаев релейный) обхватывают отрицательной оборотной связью, в цепь которой включено апериодическое звено (рис.7.16,а) - запаздывающая оборотная связь, либо используют высокоскоростную оборотную связь (рис.7.16,б). В этих случаях нелинейные системы обычно работают в скользящем режиме.


lekciya-10-stranica-10.html
lekciya-10-tehnologii-geoinformacionnih-sistem-tehnologii-raspredelennoj-obrabotki-dannih.html
lekciya-10-trudovie-spori-voprosi-ponyatie-i-formi-organizacii-truda.html