Лекция 13. Методы и устройства помехоустойчивого кодирования.

Известные блочные коды

Коды Хэмминга

Коды Хэмминга (Hamming codes) — это обычной, класс блочных кодов, которыеимеют последующую структуру:

(n, k) = ( - 1, - 1 - т), (13.1)

где m = 2, 3, ... . Малое расстояние этих кодов равно 3, потому, согласно уравнениям (6.44) и (6.47), они способны исправлять все однобитовые ошибки либо определять все модели ошибки из 2-ух либо малого числа ошибок в блоке. Декодиро­вание при Лекция 13. Методы и устройства помехоустойчивого кодирования. помощи синдромов в особенности отлично подходит к кодам Хэмминга. Фактиче­ски синдром можно перевоплотить в двоичный указатель местоположения ошибки [5]. Хотя Хэмминга не являются очень сильными, они принадлежат к очень ог­раниченному классу блочных кодов, именуемых совершенными; их особенности опи­сывались в разделе 6.5.4 коды. Если представить, что употребляется Лекция 13. Методы и устройства помехоустойчивого кодирования. жесткое декодирование, возможность появ­ления битовой ошибки можно записать при помощи уравнения (6.46):

(13.2)

Тут р — возможность неверного приема канального знака (возможность перехода в двоичном симметричном канале). Для отдельных кодов корректировки ошибок (таких как ко­ды Хэмминга) заместо уравнения (6.72) мы можем использовать другое эквивалентное уравнение (это уравнение (Г. 16), которое выводится в приложении Г):

(13.3)

На Лекция 13. Методы и устройства помехоустойчивого кодирования. рис. 6.21 Л.2 приведен график зависимости вероятности ошибки в декодированном бите от вероятности ошибки в канальном знаке, на котором сравниваются различные блочные коды. Для кодов Хэмминга на графике взяты значения m = 3, 4 и 5 либо (п, к)- (7,4), (15, 11), (31,26). Для описания гауссового канала с внедрением коге­рентной демодуляции сигналов BPSK, возможность Лекция 13. Методы и устройства помехоустойчивого кодирования. ошибки в канальном знаке можно выразить через , как это было изготовлено в уравнении (4.79Л2):

(13.4)

Возможность неверного приёма канального знака, р

Рис. 11.21. Зависимость вероятности битовой ошибки от вероятности

ошибки в канальном знаке для нескольких блочных кодов

. Тут — отношение энергии кодового знака к спектральной плотности мощ­ности шума, a Q(X) определено в уравнении (3.43). Чтоб Лекция 13. Методы и устройства помехоустойчивого кодирования. связать с энергией би­та инфы на единицу плотности спектрального шума ( ) , используем сле­дующее выражение:

. (11.5)

Для кодов Хэмминга уравнение (6.75) воспринимает последующий вид:

. (11.6)

Объединяя уравнения (6.73), (6.74) и (6.76), при когерентной демодуляции сигна­лов BPSK в гауссовом канале можно выразить как функцию . Результаты для разных типов блочных кодов отображены на рис. 11.22. Для Лекция 13. Методы и устройства помехоустойчивого кодирования. кодов Хэмминга взяты последующие значения (п,к)= (7,4), (15, 11), (31,26).

(дБ)

Рис. 11.22. Зависимость от при когерентной

демодуляции сигна­лов BPSK в гауссовом канале для

нескольких блочных кодов

Расширенный код Голея

Одним из более удобных блочных кодов является двоичный расширенный код Голея (extended Golay code) (24, 12), который образован методом добавления битов чет­ности к совершенному коду (23, 12), известному как код Голея (Golay Лекция 13. Методы и устройства помехоустойчивого кодирования. code). Эти до­полнительные биты увеличивают малое расстояние с 7 до 8, что дает степень кодировки 1/2, воплотить которую проще (исходя из убеждений системного тактового генератора), чем степень кодировки кода Голея, равную 12/23. Расширенный код Голея существенно сильнее рассмотренного в прошлом разделе кода Хэмминга. Стоимость, которую приходится платить за увеличение эффективности, заключается Лекция 13. Методы и устройства помехоустойчивого кодирования. в бо­лее сложном декодере и, соответственно, более широкой полосе пропускания.

Для расширенного кода Голея , потому, исходя из уравнения (6.44), можно сказать, что код гарантирует исправление всех трехбитовых ошибок. Не считая того, де­кодер можно сконструировать так, чтоб он исправлял некие модели с 4-мя ошибками. Так как поправить можно только 16,7% моделей Лекция 13. Методы и устройства помехоустойчивого кодирования. с 4-мя ошибками, декодер, для упрощения, обычно реализуется для исправления только трехбитовых моделей ошибки [5]. Если представить жесткое декодирование, то возможность би­товой ошибки для расширенного кода Голея можно представить как функцию веро­ятности р ошибки в канальном знаке (см. уравнение (6.46)):

(11.77)

График зависимости (11.77) показан на рис. 6.21; возможность возникновения ошибки Лекция 13. Методы и устройства помехоустойчивого кодирования. для рас­ширенного кода Голея существенно меньше, чем у кодов Хэмминга. Исходя из уравне

Коды БХЧ

Коды Боуза-Чоудхури-Хоквенгема (Bose-Chadhuri-Hocquenghem — ВСН, БХЧ) явля­ются результатом обобщения кодов Хэмминга, которое позволяет исправлять множе­ственные ошибки. Они составляют мощнейший класс повторяющихся кодов, который обеспе­чивает достаточную свободу выбора длины Лекция 13. Методы и устройства помехоустойчивого кодирования. блока, степени кодировки, размеров ал­фавита и способностей корректировки ошибок. В табл. 6.4 приводятся более нередко употребляемые при разработке кодов БХЧ генераторы g(x) [8] с различными значениями п, к и t для блоков длиной до 255. Коэффициенты g{x) представлены восьмеричными числами, оформленными так, что при преобразовании их в двоичные Лекция 13. Методы и устройства помехоустойчивого кодирования. знаки край­ние правые разряды отвечают коэффициенту нулевой степени в g(x). При помощи табл. 6.4 можно просто проверить свойство повторяющегося кода — полиномиальный ге­нератор имеет порядок п - к. Коды БХЧ очень важны, так как при блоках, длина которых равна порядка несколько сотен, коды БХЧ превосходят своими свойствами все другие Лекция 13. Методы и устройства помехоустойчивого кодирования. блочные коды с той же длиной блока и степенью кодировки. В более нередко используемых кодах БХЧ употребляется двоичный алфавит и блок кодового слова длиной , где т = 3,4, ... .

Из наименования табл. 6.4 Л2 ясно, что показаны генераторы только для простых кодов БХЧ. Термин "примитивные" (primitive) — это теоретико-числовое понятие, требующее алгебраического рассмотрения [7, 10-11], которое представлено в Лекция 13. Методы и устройства помехоустойчивого кодирования. разде­ле 8.1.4Л2. На рис. 6.21 и 6.22 изображены графики вероятности ошибки для 2-ух ко­дов БХЧ: (127, 64) и (127, 36). На рис. 6.21 показана зависимость от вероятности ошибки в канальном знаке при жестком декодировании. На рис. 6.22 показана зависимость от для когерентно де модулирован но го сигнала BPSK в гауссо­вом канале. Кривые Лекция 13. Методы и устройства помехоустойчивого кодирования. на рис. 6.22 смотрятся совершенно не так, как можно было бы ожи­дать. Они все имеют одну и ту же длину блока, но большая избыточность кода (127, 36) не дает той эффективности кодировки, какая имеется у наименее избыточ­ного кода (127, 64). Понятно, что относительно широкий максимум эффективности кодировки, зависимо от степени кодировки при Лекция 13. Методы и устройства помехоустойчивого кодирования. фиксированном n, для ко­дов БХЧ находится приблизительно меж степенью 1/3 и 3/4 [12]. Стоит также отметить, что передача по гауссову каналу очень усугубляется при переходе от очень больших до очень низких степеней [11].

На рис. 11.23 показаны расчетные свойства кодов БХЧ для когерентно демо-дулированного сигнала BPSK с жестким и мягеньким декодированием. Мягкое декодиро Лекция 13. Методы и устройства помехоустойчивого кодирования.­вание для блочных кодов не применяется из-за собственной трудности, хотя оно и дает уве­личение эффективности кодировки порядка 2 дБ по сопоставлению с жестким декоди­рованием. При данной степени кодировки возможность ошибки при декодировании миниатюризируется с ростом длины блока п [4]. Таким макаром, при данной степени кодиро­вания любопытно Лекция 13. Методы и устройства помехоустойчивого кодирования. разглядеть нужную длину блока для сопоставления черт жесткого и мягенького декодирования. На рис. 6.23 все коды показаны со степенью ко­дирования, равной примерно 1/2. Из рисунка [13] видно, что при фиксирован­ной степени кодировки и жестком декодировании кода БХЧ длиной 8л либо более наблюдаются наилучшие свойства, чем при мягеньком декодировании кода БХЧ дли­ной Лекция 13. Методы и устройства помехоустойчивого кодирования. п. Существует особый подкласс кодов БХЧ (которые были разработаны ранее кодов БХЧ), который является недвоичным набором; это коды Рида-Соломона (Reed-Solomon code). Подробнее об этих кодах будет поведано в разделе 8.1.

(дБ)

Рис. 11.23. Зависимость от для когерентно де-модулируемого сигнала BPSK в гауссовом канале с ис­пользованием кодов БХЧ Лекция 13. Методы и устройства помехоустойчивого кодирования.. (Перепечатано с разрешения создателя из L. J. Weng. "Soft and Hard Decoding Perform­ance Comparison for BCH Codes", Proc. Int. Conf. Commun., 1979, Fig. 3, p. 25.5.5.


lekciya-18-210504.html
lekciya-18-nanostrukturnie-materiali.html
lekciya-18-psihologicheskij-diagnoz-konspekt-lekcij-tekst-predostavlen-litagentom.html